Ισως μια τέτοια τάξη θα αισθανόταν πολύ καλύτερα αν σε προηγούμενα χρόνια είχε προηγηθεί κάτι αντίστοιχο, με τη μορφή όμως παιχνιδιού. Και η σχετική θεωρία, που με αυτή ασχολήθηκαν αρκετοί μαθηματικοί, ξεκίνησε με βάση ένα παιχνίδι που έπαιζαν πρώτοι οι Κινέζοι. Εμεινε όμως γνωστό ως Wythoff’s Game, όπου ο Βίλχελμ Αβραάμ Βίτχοφ, που υπήρξε διδάκτορας των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Αμστερνταμ, το ανέλυσε αρκετά διεξοδικά το 1907.

Το παιχνίδι παίζεται με δυο μόνο παίκτες που έχουν μπροστά τους δυο σωρούς, όχι απαραίτητα από ισάριθμα αντικείμενα (κουμπιά, καρύδια, σπίρτα, νομίσματα). Με τη σειρά του ο καθένας παίρνει είτε από τον ένα σωρό όσα αντικείμενα θέλει είτε και από τους δυο, αλλά τότε υποχρεωτικά αποσύρει τον ίδιο αριθμό αντικειμένων από κάθε σωρό. Δεν επιτρέπεται, όταν είναι η σειρά σου, να μην πάρεις καθόλου. Κερδίζει όποιος κατορθώσει να αποσύρει το τελευταίο ή τα τελευταία αντικείμενα.

Οταν είναι πολλά τα αντικείμενα στους δυο σωρούς, π.χ. 100 και 123, το τοπίο για την όποια τακτική είναι κάπως ομιχλώδες. Τι κάνουμε επομένως; Ο,τι και στους αναγωγικούς τύπους-συλλογισμούς. Πηγαίνουμε εκεί όπου αρχίζει να φαίνεται το τέλος. Ας πούμε πως οι δυο παίκτες έχουν αποσύρει τόσα ώστε να υπάρχουν στον ένα σωρό μόλις 1 αντικείμενο και στον άλλον μόλις 2. Τότε, με βάση τους κανόνες, όποιος έχει σειρά να παίξει θα χάσει. Διότι ή θα πάρει 1 ή 2 από έναν από τους σωρούς είτε 1 και 1, οπότε κερδίζει ο άλλος. Αν στον ένα σωρό μένουν 3 και στον άλλον 1; Τότε μπορεί να κερδίσει αυτός που είναι η σειρά του να παίξει, διότι απλά θα αποσύρει το 1 από τον σωρό με τα 3 αντικείμενα και θα φέρει τον αντίπαλο στη θέση που περιγράψαμε πριν. Ισως ο αναγνώστης μπορεί ήδη να καταλάβει την τακτική που θα πρέπει να διαμορφωθεί από τον κάθε παίκτη για να φτάσει στη νίκη. Αν όχι, εδώ θα είμαστε και την επόμενη φορά.

Strange primes

Εχουμε ήδη αναφέρει ότι παράξενοι πρώτοι (strange primes) είναι οι μονοψήφιοι πρώτοι αριθμοί και από τους άλλους όποιος πρώτος παραμένει πρώτος ακόμη και αν του αφαιρέσεις το πρώτο ή το τελευταίο ψηφίο. Είχαμε βρει τους 1, 2, 3, 5, 7, 23, 53, 73, 37 (με βάση κάποιον άλλον ορισμό είναι μόνον οι 3, 7, 31 αλλά ας το αφήσουμε αυτό). Είχε μείνει να βρούμε και τους τυχόν τριψήφιους. Για τους τριψήφιους λοιπόν μια μέθοδος είναι να ενώνουμε τους διψήφιους που έχουν ένα κοινό ψηφίο και να συγκολληθούν σε αυτό ακριβώς. Ετσι από τους παραπάνω προκύπτουν οι 237 (από 23, 37), 537 (53, 37), 737 (73, 37), 373 (37,73). Οπ, προσοχή: οι 237, 537 διαιρούνται με το 3 ακριβώς και ο 737 με το 11. Αρα μόνο ένας τριψήφιος, ο 373. Με τον ίδιο τρόπο προχωρούμε για τυχόν τετραψήφιους(;).

Πνευματική Γυμναστική

1. Τρεις πειρατές έχουν βρει έναν θησαυρό που αποτελείται από χρυσά νομίσματα και διάφορα άλλα πολύτιμα αντικείμενα. Δεν διαθέτουν όμως εκείνη τη στιγμή ζυγαριά ή μέτρο για να χωρίσουν κάπως ισότιμα τα μερίδιά τους. Πώς μπορούν να κάνουν μια όσο το δυνατόν πιο δίκαιη μοιρασιά;

2. Τρεις χώρες, τρεις μεγάλες δυνάμεις θέλουν να φτάσουν η καθεμία πρώτη από όλες σε ένα δεδομένο σημείο του Διαστήματος. Η καθεμία έχει δυνατότητα να ξοδέψει έως και 1 δισ. ευρώ. Με συμβατικό τρόπο απαιτούνται 1.600 ημέρες. Οποιος θέλει να συντομεύσει το ταξίδι, από την αγορά του προσφέρονται οι εξής δυνατότητες: 1. Υπάρχουν τρεις συμβατικοί κινητήρες όλοι κι όλοι με κόστος 400 εκατομμύρια ευρώ ο καθένας και με τον καθένα συντομεύεται το ταξίδι κατά 200 ημέρες. 2. 8 κινητήρες ιόντων προς 140 εκατομμύρια ευρώ ο ένας και κατανάλωση 5.000 κιλά του στοιχείου ξένο για το ταξίδι.

Στη Γη υπάρχουν διαθέσιμα 30.000 κιλά ξένο με κόστος 2.000 ευρώ το κιλό. Για κάθε 1 κινητήρα ξένο που χρησιμοποιείται το ταξίδι συντομεύει κατά 50 ημέρες. 3. Με κόστος 50 εκατομμύρια ευρώ μπορεί όποιος θέλει να στείλει και ρομποτικούς μεταφορείς καυσίμου με κόστος 50 εκατομμύρια ευρώ ο καθένας. Είναι μόνο τέσσερις και με τον καθένα το ταξίδι συντομεύει κατά 25 ημέρες. Με ποια στρατηγική μπορεί κάποια από τις δυνάμεις να φτάσει ΜΟΝΗ πρώτη; Σε ένα διαστημόπλοιο μπορεί να μονταριστούν και συμβατικοί και κινητήρες ιόντων. Επίσης επιτρέπονται τα πάντα.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Σε μια εξέταση με πολλαπλές απαντήσεις και τη μία μόνο να είναι η σωστή, αν και η ερώτηση δεν ήταν ευανάγνωστη, ευανάγνωστες ήταν οι επιλογές. Ο εξεταζόμενος είχε να διαλέξει μια από τις παρακάτω έξι: 1. Ολες οι παρακάτω, 2. Καμία από τις παρακάτω, 3. Ολες οι πιο επάνω. 4. Μια από τις πιο επάνω, 5. Καμία από τις παραπάνω. 6. Καμία από τις παραπάνω (ναι, οι 5 και 6 εδώ είναι όμοιες, δεν είναι τυπογραφικό λάθος). Η 1 αν ήταν η σωστή, δηλαδή «αληθής», θα μας επέβαλλε να θεωρήσουμε πως η 2 και η 6 είναι αληθείς, αλλά αυτές μεταξύ τους είναι αντικρουόμενες. Αρα αυτή δεν είναι αληθής. Η 3, αν ήταν αληθής, θα επέβαλλε και την αλήθεια της 1, άρα ούτε αυτή είναι αληθής. Αν η 2 ήταν αληθής, τότε θα ήταν και η 4. Αλλά οι δυο αυτές μεταξύ τους είναι αντικρουόμενες. Αρα ούτε η 2 είναι αληθής. Εχουμε επομένως 1, 2, 3 ψευδείς, οπότε και η 4 είναι ψευδής. Μένουν οι 5 και 6. Η 6 δεν μπορεί να είναι αληθής διότι οι 1 έως και 4 είναι ψευδείς και η 5 λέει πως πράγματι αυτές είναι ψευδείς, άρα είναι αληθής, οπότε η 6 είναι ψευδής και προφανώς αληθής είναι μόνον η 5 που λέει ότι καμία από τις 4 προηγούμενες δεν είναι αληθής.

2.Εβδομήντα δύο γαλοπούλες πουλήθηκαν έναντι Χ67,9Υ ευρώ. Οπου το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο δεν είναι ευανάγνωστα. Πόσο τιμάται η μία; Προφανώς ο αριθμός που συνολικά απέδωσε η πώλησή τους διαιρείται ακριβώς με το 72. Και επειδή 9×8=72 θα πρέπει να διαιρείται ακριβώς με το 8 κα το 9. Λύνεται με διάφορους τρόπους και εμείς εδώ θα χρησιμοποιήσουμε μια αυτοσχέδια μεικτή τεχνική, διότι δεν θέλουμε να θυμάται ο αναγνώστης τον όχι και τόσο γνωστό κανόνα διαιρετότητας για το 8. Ξεκινάμε από τα πιο απλά. Η διαιρετότητα με το 9 θέλει το άθροισμα 6+7+9+Χ+Υ = 22+Χ+Υ να είναι διαιρετό με το 9. Επειδή τα Χ, Υ μπορεί να παίρνουν τιμές μεταξύ 0 και 9, το άθροισμα 22+Χ+Υ θα έχει τιμές μεταξύ 22 και (22+9+9) 40. Μεταξύ 22 και 40 οι αριθμοί που διαιρούνται με το 9 είναι οι 27 και 36. Αρα Χ+Υ=5 από το (27-22) ή Χ+Υ= 14 από το (36-22). Αφήνουμε τα δυο αθροίσματα προς το παρόν και πηγαίνουμε στη διαίρεση με το 8. Ο αριθμός Χ679Υ αναλύεται σε: 10.000Χ+6.000+790+Υ. Παρατηρούμε πως το άθροισμα (10.000Χ+6.000) για κάθε τιμή του Χ από 0 έως 9 δίνει στη διαίρεση με το 8 υπόλοιπο μηδέν. Αρα εστιάζουμε στο τι παίρνουμε ως υπόλοιπο από το υπόλοιπο τμήμα: (790+Υ). Η διαίρεση με το 8 αφήνει υπόλοιπο 6+Υ. Και για να είναι τέλεια, δηλαδή με υπόλοιπο 0 πρέπει το Υ να είναι ίσον με 2. Οπότε από τα ζεύγη Χ+Υ=5 και Χ+Υ= 14 προκύπτει ότι Χ=3, ενώ το άλλο απορρίπτεται διότι με Υ=2 το άθροισμα δεν βγαίνει 14 αφού Χ μονοψήφιος. Αρα ο αριθμός είναι ο 367,92 και η τιμή 5,11 ευρώ.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα