Αφήνουμε για περίπου 2 ώρες τα κομμένα ντοματίνια, ελαφρώς αλατισμένα σε ένα σουρωτήρι, για να αφυδατωθούν.
Τα μεταφέρουμε σε ένα μπολ, προσθέτουμε το τυρί, τη ρίγανη, το σχινόπρασο, το ελαιόλαδο, αλατοπίπερο και τα ανακατεύουμε ελαφρά.
Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C. Ξεδιπλώνουμε τα φύλλα στον πάγκο εργασίας μας και τα κόβουμε σε δίσκους με ένα στρογγυλό κουπάτ διαμέτρου 10 εκ. Αν η ζύμη είναι λεπτή βάζουμε 2 δίσκους τον ένα πάνω στον άλλο.
Βάζουμε στο κέντρο κάθε δίσκου λίγη από τη γέμιση και αλείφουμε γύρω-γύρω με νερό. Πιάνουμε κάθε δίσκο και με τα δύο χέρια και ενώνουμε τη ζύμη με τα δάχτυλα δίνοντας σχήμα βαρκούλας (θα είναι ανοιχτά στο κέντρο). Δεν τα κλείνουμε σφιχτά γιατί κατά το ψήσιμο η γέμιση θα βγει από έξω.
Ντύνουμε τη λαμαρίνα του φούρνου με λαδόκολλα και βάζουμε πάνω τα πεϊνιρλί, αφήνοντας κενό ανάμεσά τους. Ψήνουμε για 15-20 λεπτά μέχρι να ροδίσουν. Τα αφήνουμε να κρυώσουν λίγο και τα πασπαλίζουμε με λίγη ρίγανη.
