Η καλή χρονιά από τα κουίζ φαίνεται

Επειδή οι ασκήσεις της πνευματικής γυμναστικής, από την προηγούμενη φορά, ήταν πολλές και απαιτούσαν διεξοδικά διατυπωμένες λύσεις, η έλλειψη χώρου μάς ανάγκασε να δημοσιεύσουμε σήμερα τις απαντήσεις σε τέσσερις από αυτές, δηλαδή στις μισές, και ακολουθούν την επόμενη φορά οι απαντήσεις στις υπόλοιπες.

1.  Σας προτείνουν, αφού ανακατευτεί, να χωριστεί η τράπουλα σε τρεις στοίβες και να βάλετε 20 ευρώ στο ότι τουλάχιστον το πιο επάνω χαρτί σε οποιαδήποτε από τις στοίβες θα είναι φιγούρα (βαλές, ντάμα, ρήγας). Θα τα βάλετε; (Ο υπολογισμός δίνει 55% πιθανότητα να χάσετε.) Ας δούμε τις πιθανότητες: Σε μία δέσμη των 52 φύλλων αναζητούμε πρώτα τους συνδυασμούς που μπορούν να γίνουν τραβώντας ανά τρία φύλλα και χωρίς να τα βάζουμε πάλι πίσω (συνδυαστική χωρίς επαναλήψεις) και βγαίνει ότι είναι 22.100 συνολικά. (Ο αναγνώστης αν δεν είναι εξοικειωμένος με τους σχετικούς τύπους μπορεί απλώς να βρει στο Διαδίκτυο μια μηχανή υπολογισμού). Αφαιρούμε τα 12 φύλλα (βαλές, ντάμα, ρήγας επί τέσσερα χρώματα) και μένουν 40. Για αυτά οι συνδυασμοί τους ανά τρία (χωρίς επανάληψη και εδώ) με την ίδια μηχανή υπολογίζονται σε 9.880. Το σύνολό αυτό ας το καλούμε σύνολο-Α. Αφαιρώντας από το 22.100 το 9.880 προκύπτει ένα νέο σύνολο-Β που είναι τριάδες με ένα τουλάχιστον από τα φύλλα να είναι βαλές, ντάμα, ρήγας. Οταν επομένως φτιάξουμε τις τρεις στοίβες, η επάνω τριάδα που μας ενδιαφέρει θα ανήκει ή στο σύνολο-Α (καμία τριάδα με φιγούρα) ή στο σύνολο-Β (τουλάχιστον μία φιγούρα στην τριάδα). Εύκολα πλέον προκύπτει ότι στη μια περίπτωση οι πιθανότητες να μην υπάρχει φιγούρα στην επάνω τριάδα είναι 9.880/22.100=44,7% και η πιθανότητα να υπάρχει είναι 12.200/22.100=55,3%, που συμφωνεί και με το προηγούμενο αποτέλεσμα. Αρα υπάρχει ανισότητα και προφανώς ο διαχειριστής του τζόγου θα κρατήσει το 55,3% για τον εαυτό του και θα μας προτείνει να ποντάρουμε στο ότι δεν θα βγει φιγούρα στην επάνω τριάδα.

2. Ενα αυτοκίνητο έχει διανύσει 100.000 χιλιόμετρα έχοντας χρησιμοποιήσει και τα τέσσερα λάστιχά του και τη ρεζέρβα του σε ακριβώς ίδιο αριθμό χιλιομέτρων. Πόσα χιλιόμετρα έχει κάνει το κάθε λάστιχο; Αφού το αυτοκίνητο διήνυσε 100.000 χιλιόμετρα, τόσα διήνυσε κάθε τροχός του, άρα συνολικά 4×100.000=400.000 χιλιόμετρα. Που αυτά τα μοιράστηκαν 5 λάστιχα, επομένως το καθένα διήνυσε 80.000 χιλιόμετρα.

3. Ενα αγόρι και ένα κορίτσι παίζουν το εξής παιχνίδι: Εχουν μοιράσει έξι νομίσματα, από τρία σε δύο στοίβες. Ο κάθε παίκτης επιτρέπεται να πάρει από μία μόνο στοίβα, όποια θέλει, όσα νομίσματα επιθυμεί. Νικητής είναι όποιος αποσύρει και το τελευταίο νόμισμα από τα έξι. Το αγόρι νομίζει ότι παίζοντας πρώτο (επειδή είναι αγόρι ίσως;) θα κερδίσει σίγουρα, αλλά το κορίτσι ξέρει ότι παίζοντας δεύτερο έχει σίγουρη τη νίκη. Γιατί; Διότι το κορίτσι θα αντιγράφει τις κινήσεις του αγοριού στην άλλη στήλη από αυτήν που θα παίρνει νόμισμα ή νομίσματα το αγόρι. Ετσι τον αναγκάζει κάποια στιγμή να αδειάσει εντελώς μία στήλη, οπότε εκείνη την επόμενη στιγμή παίρνει όλα τα νομίσματα της άλλης, άρα και το τελευταίο. Κάντε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και θα δείτε ότι έτσι μπορεί πάντα να κερδίζει.

4. Και κάτι για όποιον θέλει να βασανιστεί πιο πολύ: Στα κλάσματα (16/64) και (19/95) μπορούμε να «απλοποιήσουμε» ανορθόδοξα σβήνοντας τα εξάρια και τα εννιάρια αντίστοιχα. Υπάρχουν άλλα τέτοια κλάσματα; Αν ναι, πώς θα βρεθούν; Οποιος ασχολήθηκε με το πρόβλημα αυτό αξίζει να πάρει και επί πλέον μία καινούργια λέξη στα αγγλικά, αν φυσικά δεν τη γνώριζε. Είναι η λέξη howler. Προέρχεται από το howl, που σημαίνει ουρλιάζω, αλλά schoolboy howler είναι αυτό που εμείς στα ελληνικά ονομάζουμε «μαργαριτάρι» και όσοι διδάσκουν μαθηματικά θα έχουν συναντήσει αρκετά. Και αυτή η αυθαίρετη απαλοιφή (που τη διαπράττει ένας μαθητής όταν δεν έχει χωνέψει το τι είναι η απλοποίηση) κανονικά είναι ένα… μαργαριτάρι, με τη διαφορά ότι κάποιες λίγες φορές πετυχαίνει! Οπως στα παραδείγματα κλασμάτων παραπάνω που τα βρίσκεις και ως howlers. Πώς σκεπτόμαστε όμως για να βρούμε και άλλα τέτοια κλάσματα (howlers); Η αρχή γίνεται με τη σχέση: [(10x+α)/(10α+y)]=(x/y). Για παράδειγμα, σκεφθείτε στο (16/64) ότι αντιστοιχούν x=1, y=4, α=6. Λύνουμε ως προς y και έχουμε τελικά: y=[(10αx)/(9x+α)]. Θα πρέπει να προκύψει y ακέραιος, ενώ για τους α, x είναι δεδομένο πως πρόκειται για μονοψήφιους ακεραίους. Δίνοντας στο α τιμές από το 1 έως το 9 και στο x αντίστοιχα τιμές από το 1 έως το 9 βλέπουμε σε ποιους συνδυασμούς των α και x προκύπτει μονοψήφιος ακέραιος και για τον y. Οι τριάδες (x, α, y) είναι τέσσερις: (1,6,4), (2,6,5), (1,9,5), (4,9,8). Οπότε τα κλάσματα που ζητούμε είναι τέσσερα: (16/64), (19/95), (26/65), (49/98).

Πνευματική Γυμναστική

1.  Σε έναν πλειστηριασμό αυτοκινήτων συμμετείχαν 30 πλειοδότες. Οι 10 από αυτούς αγόρασαν λιγότερα από 6 αυτοκίνητα ο καθένας. Οι 8 αγόρασαν περισσότερα από 7 αυτοκίνητα ο καθένας, οι 5 περισσότερα από 8 αυτοκίνητα ο καθένας και ένας μόνο αγόρασε περισσότερα από 9. Από τους 30 πόσοι αγόρασαν 6, 7, 8 ή 9 αυτοκίνητα;

2. Τέσσερις μαθηματικοί συναντιούνται αυτές τις ημέρες των διακοπών και επειδή τα τυχερά παιχνίδια δεν είναι του γούστου τους διασκεδάζουν κάπως αλλιώς. Ο ένας γράφει σε τρεις μικρές κάρτες από έναν θετικό ακέραιο αριθμό και περνάει με ένα νήμα από μία στον λαιμό ενός εκάστου από τους άλλους τρεις. Και έτσι ώστε να μην μπορεί ο συγκεκριμένος να δει τον δικό του αριθμό, αλλά φυσικά να τον βλέπουν οι άλλοι δύο. Γνωρίζουν από την αρχή πως πρόκειται για θετικούς ακεραίους και ότι ο ένας από αυτούς είναι το άθροισμα των άλλων δύο. Ξεκινούν να μαντεύουν ο καθένας με τη σειρά του, ο Α, ο Β, ο Γ, αλλά ο πρώτος γύρος κλείνει χωρίς αποτέλεσμα. Στο ξεκίνημα του δεύτερου γύρου ο Α φωνάζει: «Εχω το 50». Πώς το βρήκε και ποιοι ήταν οι άλλοι δύο αριθμοί;

3. Ο διαχειριστής του τζόγου μάς λέει να διαλέξουμε τρία φύλλα από την τράπουλα και χωρίς να τα δείξουμε να σημειώσουμε ποια είναι αυτά. Αν μαντέψει έστω και ένα από αυτά, χάνουμε. Υποθέτουμε μάλιστα πως αυτό θα επαναληφθεί υποχρεωτικά μερικές φορές ακόμη. Μας συμφέρει;

Έντυπη έκδοση Το Βήμα