Εδώ λοιπόν χρειάζεται ένας καλός λογιστής αλλά να διαθέτει και φαντασία. Κατ’ αρχάς είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε πως θα εμφανίζονται μόνον 5 αριθμοί, εκ των οποίων κάποιοι θα είναι μονοψήφιοι, διψήφιοι έως και τριψήφιοι. Ξεκινάμε, λόγω του ορίου 800, από τους αριθμούς 1 έως 7. Εκεί λοιπόν π.χ. το 7 στη χειρότερη περίπτωση θα εμφανίζεται σε πέντε και από τους 177, 277, 377, 477, 577, 677 και 777. Αν τύχει μέσα σε αυτούς να είναι και ο 777 τότε χρειάζονται 11 εφτάρια. Αρα για τους 7 αριθμούς από 1 έως 7 θα παραγγελθούν 11×7=77 πινακίδες. Για τα ψηφία 8, 9, 0 επειδή δεν «παίζουν» τα 888, 999, 000 χρειαζόμαστε το πολύ 10×3=30 πινακίδες. Που μας κάνει μέχρι στιγμής 77+30=107.

Εδώ τώρα μπαίνει και η φαντασία. Η παραγγελία για τα ψηφία 6 και 9 θα μπορούσε να συμπτυχθεί! Πόσο; Η δυσμενέστερη περίπτωση είναι τα εξής πέντε: 666, 669 ,696, 699 και ένας από τους ψαλμούς 69 ή 96. Εκεί χρειάζονται σίγουρα 14 ψηφία του τύπου 6, οπότε αντί για (11+10) πάμε στα 14 άρα εξοικονομούμε 7 και ο λογαριασμός προς το παρόν θα είναι στις 100 πινακίδες. Ακόμη πιο προχωρημένη θα είναι η περίπτωση να υπάρχει εκτύπωση και από τις δύο πλευρές. Μόνον που θα πρέπει να είναι έτσι οι εκτυπώσεις ώστε να μη συμπίπτουν όσο το δυνατόν τα ζευγάρια. Π.χ. να μην υπάρχουν πίσω από δύο 7άρια δύο 4άρια αλλά δύο διαφορετικά ψηφία. Αν όλα αυτά γίνουν επιτυχημένα θα έχουμε 50×1+100×0,25=75 ευρώ.

Κάρτες που  μπερδεύουν

Στο κουίζ που δημοσιεύθηκε στις 27 Αυγούστου είχαμε τρεις κάρτες όπου και οι δύο όψεις στην πρώτη ήταν μαύρες, στη δεύτερη και οι δύο όψεις ήταν λευκές και στην τρίτη είχαμε μία όψη μαύρη, μία λευκή. Τοποθετήθηκαν μέσα σε ένα κουτί, τραβήξαμε μία στην τύχη, την αφήσαμε στο τραπέζι χωρίς να δούμε την άλλη όψη. Αυτή που βλέπαμε ήταν μαύρη και ζητούσαμε την πιθανότητα και η από κάτω να είναι μαύρη. Είχαμε δώσει ως απάντηση πως η πιθανότητα ήταν 2/3. Δύο τουλάχιστον αναγνώστες, σε ευγενέστατα μηνύματα, είχαν διατυπώσει την άποψη πως η πιθανότητα ήταν 1/2. Ο ένας έγραψε π.χ.: «Αφού η μία πλευρά είναι Μ αποκλείεται η ΑΑ, άρα μένουν οι ΜΜ και ΜΑ. Αρα εγώ καταλήγω σε πιθανότητα 1/2 να είναι η ΜΜ». Σχεδόν ίδια ήταν και η άλλη ένσταση: «Αφού πήραμε μία κάρτα η οποία έχει μία όψη μαύρη, η κάρτα που είναι λευκή και στις δύο πλευρές νομίζω ότι “δεν παίζει πλέον μπάλα”. Ετσι νομίζω ότι η σωστή απάντηση είναι ½».

Δεν συμφωνώ. Ας δούμε πρώτα  έναν ιδιαίτερα απλό συλλογισμό: Από τις 6 όψεις οι 3 είναι μαύρες. Από τις 3 αυτές οι 2 είναι στην ίδια κάρτα. Αρα η πιθανότητα να έχει βγει η κάρτα αυτή είναι 2/3.

Μια πιο αυστηρή προσέγγιση έχει ως εξής: Η πιθανότητα να έχει βγει η μαύρη και στις δύο όψεις (Μ/Μ) είναι 1/3 και η μαύρη-λευκή (Μ/Λ) επίσης 1/3 (διότι κάθε κάρτα από τις τρεις έχει ίσες πιθανότητες). Αρα η πιθανότητα η μαύρη όψη που βλέπουμε να προέρχεται από τη Μ/Μ είναι 1/3 x1 = 1/3, ενώ από τη Μ/Λ είναι 1/3 x 1/2 = 1/6. Αρα συνολικά η πιθανότητα για τη μαύρη όψη, να είναι αυτή που βλέπουμε, βγαίνει από το άθροισμα πιθανοτήτων 1/3 + 1/6 = 1/2. Ομως δεν σταματάμε εδώ. Θέλουμε την πιθανότητα αυτό το συμβάν να προέρχεται από τη Μ/Μ που είναι το ένα από τα δύο πιθανά. Αρα τελικά θα έχουμε (1/3)/(1/2)= 2/3. Στην ουσία έχουμε μια μπαγεσιανή περίπτωση αν το θέλετε αλλιώς.

Πνευματική Γυμναστική

1. Υπάρχουν τρία κουτιά στο δωμάτιο και μία δεσμίδα από κάρτες αριθμημένες από το 1 έως το 100. Σας λένε να τις μοιράσετε όλες όπως εσείς θέλετε στα τρία κουτιά, αρκεί να υπάρχει τουλάχιστον μία σε κάθε κουτί. Το κάνετε και γυρίζετε την πλάτη. Κάποιος παριστάμενος παίρνει δύο κάρτες, μία από κάθε κουτί, αθροίζει τους αριθμούς τους και σας λέει το άθροισμα. Εσείς τότε μπορείτε αμέσως να του πείτε από ποιο κουτί δεν πήρε κάρτα. Με ποιον ή ποιους τρόπους μοιράζετε τις κάρτες στα κουτιά;

2. Ψάχνουμε δύο ημερομηνίες μέσα σε μια χρονιά και ακόμη πιο αυστηρά μέσα στον ίδιο μήνα, με απόσταση μεταξύ τους ακριβώς δύο εβδομάδες, γραμμένες η καθεμία ως κλάσμα, με τον εξής τρόπο: ημέρα/μήνα, π.χ. 12/7 είναι η 12η Ιουλίου. Η ιδιαιτερότητά τους είναι πως η διαφορά των δύο κλασμάτων θα είναι ίση με 22/7 που δίνει κατά προσέγγιση την τιμή του π διότι σε αυτές τις δύο εβδομάδες (υποτίθεται) θα γίνεται ο εορτασμός για τον αριθμό π=3,141…

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Εχουμε μία ορθογώνια πλάκα σοκολάτας χωρισμένη κλασικά σε μικρά ίσα μεταξύ τους τετραγωνάκια. Πόσα σπασίματα το ελάχιστο χρειάζεται να γίνουν ώστε να μείνει κάθε τετραγωνάκι χωριστά; (Χρειαζόμαστε όσο πιο μαθηματική απόδειξη γίνεται.) Οσο και αν θα φανεί παράδοξο η μέθοδος της επαγωγής μπορεί να βοηθήσει. Αν είναι ένα μόνον τετραγωνάκι θα έχουμε 0 σπασίματα. Αν έχουμε 2 θα χρειαστούμε 1 σπάσιμο. Για 1<=Μ < Ν υποθέτουμε λοιπόν πως έχουμε Μ-1 σπασίματα. Για μία με Ν τετραγωνάκια της κάνουμε έναν τεμαχισμό σε δύο κομμάτια με μ1 και μ2 τετραγωνάκια (δηλαδή μ1+μ2=Ν). Σύμφωνα με την υπόθεση το καθένα στη συνέχεια χρειάζεται μ1 – 1 σπασίματα και το άλλο μ2 – 1 επίσης. Συνολικά λοιπόν για τα Ν χρειάζονται 1 + (μ1-1) + (μ2-1) = μ1 + μ2-1 = Ν–1 σπασίματα. Η αλήθεια είναι πως προκύπτει εύκολα το αποτέλεσμα κάνοντας την παρατήρηση πως με κάθε σπάσιμο αυξάνεται κατά ένα ο αριθμός των κομματιών. Εχουμε 2 κομμάτια με το πρώτο σπάσιμο, έχουμε 3 με το δεύτερο σπάσιμο του ενός από τα δύο προηγούμενα κομμάτια, 4 με το τρίτο σπάσιμο και ούτω καθ’ εξής. Πάντα ένα λιγότερο.

2. Επάνω σε ένα ξύλινο ισόπλευρο τρίγωνο βρίσκονται τρία σκαθαράκια, από ένα σε κάθε γωνία. Ξεκινούν ταυτόχρονα να κινούνται επάνω στις πλευρές το καθένα προς μία από τις άλλες δύο γωνίες εντελώς τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να μη συγκρουστούν; Η πρώτη παρατήρηση είναι πως για να μη συγκρουστούν πρέπει να κινηθούν και τα τρία με την ίδια φορά, δηλαδή είτε με τη φορά των δεικτών του ρολογιού είτε αντίθετα. Το καθένα προφανώς έχει να διαλέξει με ποια φορά από τις δύο θα κινηθεί, που σημαίνει πως η πιθανότητα για τη μία ή την άλλη είναι από 1/2. Επομένως θα έχουμε: Πιθανότητα Μη σύγκρουσης=Πιθανότητα να κινηθούν και τα τρία με τη φορά των δεικτών + Πιθανότητα να κινηθούν και τα τρία αντίθετα. Αφού για το καθένα η πιθανότητα είναι 1/2, για να συμβεί αυτό ταυτόχρονα και για τα τρία θα είναι (1/2)x(1/2)x(1/2), οπότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: Πιθανότητα (Μη σύγκρουσης) = (1/2)x(1/2)x(1/2) + (1/2)x(1/2)x(1/2), που δίνει αποτέλεσμα 2/8 ή 1/4 ή 25%.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα