Τετάρτη 17 Αυγούστου 2022
weather-icon 32 oC
MUST READ

Η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι

Στη σειρά του ΒΗΜΑ-Science για όσους θέλουν να φτιάξουν ξανά τη… σχέση τους με τα Μαθηματικά βλέπουμε τη γραμμή που ενώνει τον Ευκλείδη με την Πίζα του 13ου αιώνα

Η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι
«Η Γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς. Ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα και ο άλλος η διαίρεση της γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο. Το μεν πρώτο μπορούμε να το παρομοιάσουμε με μια ποσότητα χρυσού και το δεύτερο με ένα πολύτιμο πετράδι» (Από «Το βιβλίο των αριθμών», Εκδόσεις Αλεξάνδρεια). Αυτή ήταν η άποψη του Γιόχαν Κέπλερ, του διάσημου γερμανού αστρονόμου (1571-1630) για την σημασία της πρότασης του Ευκλείδη, που όπως είδαμε πολύ αργότερα ονομάστηκε «Χρυσή Τομή».

Πριν από τον Κέπλερ όμως, περίπου 400 χρόνια πίσω, είχε μεσολαβήσει μεταξύ Ευκλείδη, Αράβων και Ευρωπαίων, για να διαδοθεί η γνώση γύρω από αυτή τη «διαίρεση της γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο», ο μαθηματικός Leonardo filius Bonacci (= γιος του καλόβολου) ή αλλιώς ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1170-1250 περ.). Είναι διάσημος για αρκετά πράγματα αλλά εδώ μας ενδιαφέρει μια ιδιαίτερη ακολουθία αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… που εμφανίστηκε σε βιβλίο του το 1202. Ιδιαίτερη ως προς το ότι ο καθένας, πλην των δύο πρώτων (1, 1), προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγουμένων.

Η ιδιαιτερότητα

Αλλά γιατί ενώ ασχολούμαστε με τη Χρυσή Τομή εμφανίζεται ξαφνικά η ακολουθία του ιταλού μαθηματικού από την Πίζα; Ο λόγος γίνεται πολύ φανερός αν αρχίσουμε να διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας διά του προηγουμένου του:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1.66…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,61538461538462…

34/21 = 1,61904761904762…

55/34 = 1,61764705882353…

89/55 = 1,61818181818182…

144/89 = 1,61797752808989…

233/144 = 1,61805555555556…

Αν συνεχίσουμε ακόμη πιο βαθιά στην ακολουθία Φιμπονάτσι συναντάμε και το 14.930.352/9.227.465 = 1,61803398874989, δηλαδή η τιμή που είχαμε βρει στα προηγούμενα για τη Χρυσή Τομή Φ και μάλιστα με ακρίβεια 15 θέσεων!

Αλλά δεν μας αρκεί αυτό. Πηγαίνουμε σε ένα τυχαίο τμήμα της ακολουθίας Φιμπονάτσι και επειδή είναι τυχαίο συμβολίζουμε τα μέλη του γενικά με Χν-2 , Χν-1, Χν,  Χν+1… Και όπως έχουμε ορίσει ότι το κάθε μέλος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων του θα ισχύει απλά ότι:   Χν-2  +  Χν-1  = Χν  (1). Οπως είδαμε από τον πίνακα, όταν προσπεράσουμε τους πρώτους όρους, τότε η διαίρεση του ενός με τον προηγούμενό του δίνει την ίδια τιμή (με μεγάλη προσέγγιση) και  προς στιγμήν αδιαφορούμε για το ποια είναι ακριβώς η τιμή αυτή. Αρα θα ισχύει  Χν  / Χν-1  = Χν-1  / Χν-2  (2). Αν λοιπόν το Χν   στην (2) αντικατασταθεί από το ίσον του, όπως δείχνει η (1), τότε προκύπτει 1 +  (Χν-2  / Χν-1 ) = (Χν-1  / Χν-2 ) (3) και φθάσαμε εκεί που θέλαμε. Διότι αν ονομάσουμε το κλάσμα  Χν-1  / Χν-2  = Κ, τότε από την (3) εμφανίζεται μια πολύ γνώριμή μας μορφή: 1 + 1/Κ = Κ, δηλαδή η εξίσωση που είχε προκύψει και για τον υπολογισμό του Φ! Αρα Χρυσή Τομή και Φιμπονάτσι σχετίζονται;

Η έκπληξη

Εδώ υπάρχει κάτι που μπορεί να εκπλήξει τον καθένα. Διαλέξτε όποιον αριθμό θέλετε. Για παράδειγμα τον 12.131. Και άλλον έναν, τον 16.122. Φτιάξτε μια ακολουθία στα πρότυπα της Φιμπονάτσι. Το άθροισμα των δύο προηγουμένων να δίνει τον επόμενο: 12.131, 16.122, 28.253, 44.375… Αφού θα έχουν προκύψει δέκα περίπου μέλη διαιρέστε τον επόμενο με τον προηγούμενο και σίγουρα θα εκπλαγείτε.

Πνευματική Γυμναστική

  • Μας δίνουν 6 σπίρτα και μας ζητούν να επιτύχουμε να εμφανιστούν 4 τρίγωνα (χωρίς να σπάσουμε σπίρτο, να πρέπει να μειωθεί το μήκος του ή να επικαλύψουμε κάποιο με ένα άλλο).
  • Μας δίδεται ένας διακόπτης που ανάβει μια λάμπα. Είναι σβηστή και μετά από μισό λεπτό πατάμε τον διακόπτη και την ανάβουμε. Μετά από ένα τέταρτο του λεπτού πατάμε πάλι τον διακόπτη. Μετά από ένα όγδοο του λεπτού πατάμε και πάλι. Συνεχίζουμε το ίδιο στον μισό χρόνο από τον προηγούμενο. Στο τέλος του λεπτού η λάμπα θα είναι σβηστή ή αναμμένη;

Οι λύσεις του προηγούμενου κουίζ

  • Ζητούσαμε έναν πενταψήφιο αριθμό που όταν του… κολλήσεις και το 1 στα αριστερά να είναι τρεις φορές μικρότερος από τον αριθμό που του έχεις προσθέσει το 1 στα δεξιά του. Ζητούσαμε να προσδιοριστούν τα ΑΒΓΔΕ ώστε: 3 Χ (1ΑΒΓΔΕ) = ΑΒΓΔΕ1. Ξεκινούμε από τον πολλαπλασιασμό και βλέπουμε πως 3 Χ Ε πρέπει να δίνει έναν γινόμενο με το τελευταίο ψηφίο του να είναι το 1 (συν κάποιο κρατούμενο). Προφανώς το 7 ταιριάζει, άρα Ε = 7. Συνεχίζουμε έτσι. 3 Χ Δ + 2 (αφού 3 Χ 7 έδωσε 21) = πρέπει να λήγει σε 7. Aρα Δ = 5 διότι 3 Χ 5 + 2 = 17 . Και έχουμε 1 ως κρατούμενο. Με τον ίδιο τρόπο: 3 Χ Γ + 1 => 5 άρα Γ = 8 και 2 το κρατούμενο (3 Χ 8 = 24 +1 = 25). Επομένως 3 Χ Β + 2 => 8 άρα Β = 2. Και τέλος 3 Χ Α => 2 άρα το Α πρέπει να είναι ίσον με 4. Αν πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τον 142857 επί 3 παίρνουμε τον 428571.
  •  Σε ένα παιχνίδι για δύο υπάρχει μια στοίβα από 100 πίτες. Ο καθένας έχει δικαίωμα να παίρνει από 1 έως 5 κάθε φορά που είναι η σειρά του και ζητούμε αν μας δοθεί η δυνατότητα να διαλέξουμε αν θα αρχίσουμε εμείς το παιχνίδι ή ο αντίπαλος. Τι να διαλέξουμε για να είναι σίγουρο πως θα σηκώσουμε εμείς την τελευταία πίτα κάτω-κάτω; Σε ένα τέτοιο πρόβλημα πηγαίνουμε και αρχίζουμε από το… τέλος. Αν ο αντίπαλος φθάσει στον τελευταίο γύρο, όταν είναι να τραβήξει εκείνος και έχει μπροστά του 6 πίτες η νίκη μας είναι εξασφαλισμένη. Για να συμβεί αυτό πρέπει στην προηγούμενη φορά που ήταν η σειρά του να έχει μείνει με 12. Και πιο πριν με 18. Αρα τελικά όταν είναι να τραβήξει πρώτος πρέπει να έχει μπροστά του 96 (6 Χ 16 = 96). Αρα πρέπει να διαλέξουμε να τραβήξουμε εμείς πρώτα και παίρνοντας τις 4 πρώτες να τον αφήσουμε στις 96. Μετά στις 90, 84, 78…

Ακολουθήστε το in.grστο Google News και μάθετε πρώτοι όλες τις ειδήσεις
Δείτε όλες τις τελευταίες Ειδήσεις από την Ελλάδα και τον Κόσμο, στο in.gr

Latest News

PRESENTED BY
1ΑΠΟ 2
ΕΓΓΡΑΦΕΙΤΕ ΣΤΟ NEWSLETTER ΜΑΣ
όρους της πολιτικής προστασίας δεδομένων
Πρόσφατα Άρθρα B Science
Ηφαίστεια: Γιγάντιες εκρήξεις μέσα στα επόμενα 100 χρόνια βλέπουν οι επιστήμονες – Ο κίνδυνος έχει υποτιμηθεί
Περιβάλλον

«Προετοιμαστείτε για γιγάντιες εκρήξεις ηφαιστείων μέσα στα επόμενα 100 χρόνια»

Οι ειδικοί τονίζουν πως «υπάρχει μία ευρεία παρανόηση ότι οι κίνδυνοι μείζονος ηφαιστειακής έκρηξης είναι χαμηλοί» και επισημαίνουν πως είναι «απερίσκεπτη» η τωρινή έλλειψη κυβερνητικών επενδύσεων

Haaretz: Το Ισραήλ να επιβάλει ελέγχους στις εξαγωγές λογισμικού κατασκοπείας
Τεχνολογία

«Όπως ελέγχετε τα όπλα, ελέγξτε και τις εξαγωγές λογισμικού κατασκοπείας»

Με την προστασία ενός τείχους σιωπής που έχει υψωθεί από το  Υπουργείο Άμυνας κι άλλες κρατικές υπηρεσίες, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζει κανείς κατά πόσο συγκεκριμένες εταιρείες υπόκεινται όντως σε ελέγχους εξαγωγών

Το μέλλον της αντισύλληψης είναι ανδρικό
B Science

Το μέλλον της αντισύλληψης είναι ανδρικό

Το γυναικείο χάπι βγήκε στην αγορά πριν από 60 χρόνια - γιατί λοιπόν το αντίστοιχο ανδρικό χάπι αργεί τόσο πολύ;

Τετράποδοι πυροσβέστες σώζουν τη Βαρκελώνη από τις φωτιές
Περιβάλλον

Τετράποδοι πυροσβέστες σώζουν τη Βαρκελώνη από τις φωτιές

Αντιμέτωπες με τις ακραίες πυρκαγιές, οι αρχές αναζήτησαν τρόπο προφύλαξης στο… παρελθόν.

NASA: Ο πύραυλος SLS ετοιμάζεται για την παρθενική του πτήση στη Σελήνη
video
Διάστημα

Ο γιγαντιαίος πύραυλος SLS ετοιμάζεται για την παρθενική του πτήση στη Σελήνη

Με την αποστολή αυτή, η NASA θέλει να ελέγξει αν η θερμική ασπίδα της κάψουλας πληρώματος Orion μπορεί να αντέξει τη θερμότητα της επανεισόδου στη γήινη ατμόσφαιρα

Ελβετία: Η στάθμη του νερού σε τέσσερις μεγάλες λίμνες είναι στα πιο χαμηλά επίπεδα για τον μήνα Αύγουστο
Περιβάλλον

«Στερεύουν» και οι λίμνες στην Ελβετία - Στα πιο χαμηλά επίπεδα ο όγκος του νερού που χύνεται στο Ρήνο

Η αιτία; Η «απουσία βροχοπτώσεων το 2022», εξήγησε στο Γαλλικό Πρακτορείο

Smartwatch ή Activity tracker; Με ποιους τρόπους διαφέρουν και πώς θα διαλέξεις το δικό σου
Gadget Corner

Smartwatch ή Activity tracker; Με ποιους τρόπους διαφέρουν και πώς θα διαλέξεις το δικό σου

Η διαφορά μεταξύ τους συνοψίζεται στις ανάγκες του χρήστη

Κένταυρος: Διάδοση, κίνδυνος επαναλοίμωξης, νέες μεταλλάξεις – Όλα τα δεδομένα για την υποπαραλλαγή
SARS-CoV-2

Διάδοση, κίνδυνος επαναλοίμωξης, νέες μεταλλάξεις - Όλα όσα γνωρίζουμε για την υποπαραλλαγή Κένταυρος

Την υποπαραλλαγή Κένταυρος προσπαθούν να «αποκωδικοποιήσουν» οι επιστήμονες καθώς υπάρχει ο κίνδυνος να προκαλέσει ένα νέο κύμα πανδημίας

Αποκλειστικό in: Ο σχεδιασμός για το επικαιροποιημένο εμβόλιο στην Ελλάδα – Πώς θα εμβολιαστούμε από το φθινόπωρο
SARS-CoV-2

Αποκλειστικό in: Πώς θα εμβολιαστούμε από το φθινόπωρο - Ο σχεδιασμός για το επικαιροποιημένο εμβόλιο στην Ελλάδα

Όλα τα δεδομένα και τι ακολουθεί στη συνέχεια

Πεθαμένη «μίλησε» στην κηδεία της και «απάντησε» σε ερωτήσεις συγγενών
Video
Τεχνολογία

Πεθαμένη «μίλησε» στην κηδεία της και «απάντησε» σε ερωτήσεις συγγενών

Η Σμιθ είχε βιντεοσκοπήσει τον εαυτό της να δίνει απαντήσεις περίπου έξι μήνες πριν τον θάνατο της, αφιερώνοντας πολλές ώρες στη διάρκεια ενός διημέρου.

ΔΕΙΤΕ ΕΠΙΣΗΣ
Χαρακόπουλος: Ορθοδοξία και κοινοτισμός οι αρμοί επιβίωσης του βλαχόφωνου ελληνισμού
Ελλάδα

Χαρακόπουλος: Ορθοδοξία και κοινοτισμός οι αρμοί επιβίωσης του βλαχόφωνου ελληνισμού

Ισπανία: Φωτιά περικυκλώνει τρένο, πανικόβλητοι επιβάτες σπάνε τα τζάμια
Κόσμος

Ισπανία: Φωτιά περικυκλώνει τρένο, πανικόβλητοι επιβάτες σπάνε τα τζάμια

Υποκλοπές: Οι Βρυξέλλες «ψάχνουν» την υπόθεση – Για «ελληνικό Watergate» επιμένει να μιλά ο διεθνής Τύπος
Κυβέρνηση

Υποκλοπές: Οι Βρυξέλλες «ψάχνουν» την υπόθεση – Για «ελληνικό Watergate» επιμένει να μιλά ο διεθνής Τύπος

Κομισιόν: «Χαμηλώστε κατά ένα βαθμό τη θερμοκρασία για να εξοικονομήσουμε 7% ενέργειας»
Διεθνής Οικονομία

Κομισιόν: «Χαμηλώστε κατά ένα βαθμό τη θερμοκρασία για να εξοικονομήσουμε 7% ενέργειας»

ΟΦΗ: Προπονήθηκαν Λάρσον και Ντιουσέ
Ποδόσφαιρο

ΟΦΗ: Προπονήθηκαν Λάρσον και Ντιουσέ

Η επιμονή του Τραμπισμού
Άποψη

Η επιμονή του Τραμπισμού

Νέλλη: Η πρώτη γυναίκα φωτογράφος στην Ελλάδα
Ιστορικό Αρχείο

Νέλλη: Η πρώτη γυναίκα φωτογράφος στην Ελλάδα

Αυτοκίνητο: To deal της χρονιάς
Αυτοκίνητο

Αυτοκίνητο: To deal της χρονιάς

Έρευνα: Το παγωτό είναι πιο υγιεινό από ένα πολύσπορο κουλούρι
Υγεία

Έρευνα: Το παγωτό είναι πιο υγιεινό από ένα πολύσπορο κουλούρι

Σέρβος επίσκοπος καλεί σε ένοπλη επίθεση κατά των ΛΟΑΤΚΙ
LGBTQI+

Σέρβος επίσκοπος καλεί σε ένοπλη επίθεση κατά των ΛΟΑΤΚΙ

Μπαχτσελί: Επίθεση στον Πατριάρχη Βαρθολομαίο για μία… ποδοσφαιρική φανέλα
IN TV

Μπαχτσελί: Επίθεση στον Πατριάρχη Βαρθολομαίο για μία… ποδοσφαιρική φανέλα

Κρανάη: Το άγνωστο πανέμορφο νησί της Ωραίας Ελένης, στην άκρη του Γυθείου
Planet Travel

Κρανάη: Το άγνωστο πανέμορφο νησί της Ωραίας Ελένης, στην άκρη του Γυθείου

Λένα Διβάνη: «Για να θυμηθούμε τι θα πει γυναίκα με Γ κεφαλαίο»
Interviews

Λένα Διβάνη: «Για να θυμηθούμε τι θα πει γυναίκα με Γ κεφαλαίο»

Άνδρας ανακαλύπτει σπάνιο μoβ μαργαριτάρι σε ορεκτικό πιάτο μυδιών σε εστιατόριο
Viral

Άνδρας ανακαλύπτει σπάνιο μoβ μαργαριτάρι σε ορεκτικό πιάτο μυδιών σε εστιατόριο

Αθήνα, μια πόλη-φάντασμα ενόψει Δεκαπενταύγουστου
Gallery

Αθήνα, μια πόλη-φάντασμα ενόψει Δεκαπενταύγουστου

Στα «ΝΕΑ» της Τετάρτης: Κάτι τρέχει με τις τιμές
Media

Στα «ΝΕΑ» της Τετάρτης: Κάτι τρέχει με τις τιμές

Φοιτητικό σπίτι: Πώς θα εξοπλιστεί πλήρως με χαμηλό κόστος
Τα Νέα της Αγοράς

Φοιτητικό σπίτι: Πώς θα εξοπλιστεί πλήρως με χαμηλό κόστος

latestbutton