Κυριακή 09 Μαϊου 2021
21 oC
LIVE ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ
Κοροναϊός: Λεπτό προς λεπτό στο in.gr η εξάπλωση παγκοσμίως

Η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι

Στη σειρά του ΒΗΜΑ-Science για όσους θέλουν να φτιάξουν ξανά τη… σχέση τους με τα Μαθηματικά βλέπουμε τη γραμμή που ενώνει τον Ευκλείδη με την Πίζα του 13ου αιώνα

Η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι
«Η Γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς. Ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα και ο άλλος η διαίρεση της γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο. Το μεν πρώτο μπορούμε να το παρομοιάσουμε με μια ποσότητα χρυσού και το δεύτερο με ένα πολύτιμο πετράδι» (Από «Το βιβλίο των αριθμών», Εκδόσεις Αλεξάνδρεια). Αυτή ήταν η άποψη του Γιόχαν Κέπλερ, του διάσημου γερμανού αστρονόμου (1571-1630) για την σημασία της πρότασης του Ευκλείδη, που όπως είδαμε πολύ αργότερα ονομάστηκε «Χρυσή Τομή».

Πριν από τον Κέπλερ όμως, περίπου 400 χρόνια πίσω, είχε μεσολαβήσει μεταξύ Ευκλείδη, Αράβων και Ευρωπαίων, για να διαδοθεί η γνώση γύρω από αυτή τη «διαίρεση της γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο», ο μαθηματικός Leonardo filius Bonacci (= γιος του καλόβολου) ή αλλιώς ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1170-1250 περ.). Είναι διάσημος για αρκετά πράγματα αλλά εδώ μας ενδιαφέρει μια ιδιαίτερη ακολουθία αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… που εμφανίστηκε σε βιβλίο του το 1202. Ιδιαίτερη ως προς το ότι ο καθένας, πλην των δύο πρώτων (1, 1), προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγουμένων.

Η ιδιαιτερότητα

Αλλά γιατί ενώ ασχολούμαστε με τη Χρυσή Τομή εμφανίζεται ξαφνικά η ακολουθία του ιταλού μαθηματικού από την Πίζα; Ο λόγος γίνεται πολύ φανερός αν αρχίσουμε να διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας διά του προηγουμένου του:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1.66…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,61538461538462…

34/21 = 1,61904761904762…

55/34 = 1,61764705882353…

89/55 = 1,61818181818182…

144/89 = 1,61797752808989…

233/144 = 1,61805555555556…

Αν συνεχίσουμε ακόμη πιο βαθιά στην ακολουθία Φιμπονάτσι συναντάμε και το 14.930.352/9.227.465 = 1,61803398874989, δηλαδή η τιμή που είχαμε βρει στα προηγούμενα για τη Χρυσή Τομή Φ και μάλιστα με ακρίβεια 15 θέσεων!

Αλλά δεν μας αρκεί αυτό. Πηγαίνουμε σε ένα τυχαίο τμήμα της ακολουθίας Φιμπονάτσι και επειδή είναι τυχαίο συμβολίζουμε τα μέλη του γενικά με Χν-2 , Χν-1, Χν,  Χν+1… Και όπως έχουμε ορίσει ότι το κάθε μέλος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων του θα ισχύει απλά ότι:   Χν-2  +  Χν-1  = Χν  (1). Οπως είδαμε από τον πίνακα, όταν προσπεράσουμε τους πρώτους όρους, τότε η διαίρεση του ενός με τον προηγούμενό του δίνει την ίδια τιμή (με μεγάλη προσέγγιση) και  προς στιγμήν αδιαφορούμε για το ποια είναι ακριβώς η τιμή αυτή. Αρα θα ισχύει  Χν  / Χν-1  = Χν-1  / Χν-2  (2). Αν λοιπόν το Χν   στην (2) αντικατασταθεί από το ίσον του, όπως δείχνει η (1), τότε προκύπτει 1 +  (Χν-2  / Χν-1 ) = (Χν-1  / Χν-2 ) (3) και φθάσαμε εκεί που θέλαμε. Διότι αν ονομάσουμε το κλάσμα  Χν-1  / Χν-2  = Κ, τότε από την (3) εμφανίζεται μια πολύ γνώριμή μας μορφή: 1 + 1/Κ = Κ, δηλαδή η εξίσωση που είχε προκύψει και για τον υπολογισμό του Φ! Αρα Χρυσή Τομή και Φιμπονάτσι σχετίζονται;

Η έκπληξη

Εδώ υπάρχει κάτι που μπορεί να εκπλήξει τον καθένα. Διαλέξτε όποιον αριθμό θέλετε. Για παράδειγμα τον 12.131. Και άλλον έναν, τον 16.122. Φτιάξτε μια ακολουθία στα πρότυπα της Φιμπονάτσι. Το άθροισμα των δύο προηγουμένων να δίνει τον επόμενο: 12.131, 16.122, 28.253, 44.375… Αφού θα έχουν προκύψει δέκα περίπου μέλη διαιρέστε τον επόμενο με τον προηγούμενο και σίγουρα θα εκπλαγείτε.

Πνευματική Γυμναστική

  • Μας δίνουν 6 σπίρτα και μας ζητούν να επιτύχουμε να εμφανιστούν 4 τρίγωνα (χωρίς να σπάσουμε σπίρτο, να πρέπει να μειωθεί το μήκος του ή να επικαλύψουμε κάποιο με ένα άλλο).
  • Μας δίδεται ένας διακόπτης που ανάβει μια λάμπα. Είναι σβηστή και μετά από μισό λεπτό πατάμε τον διακόπτη και την ανάβουμε. Μετά από ένα τέταρτο του λεπτού πατάμε πάλι τον διακόπτη. Μετά από ένα όγδοο του λεπτού πατάμε και πάλι. Συνεχίζουμε το ίδιο στον μισό χρόνο από τον προηγούμενο. Στο τέλος του λεπτού η λάμπα θα είναι σβηστή ή αναμμένη;

Οι λύσεις του προηγούμενου κουίζ

  • Ζητούσαμε έναν πενταψήφιο αριθμό που όταν του… κολλήσεις και το 1 στα αριστερά να είναι τρεις φορές μικρότερος από τον αριθμό που του έχεις προσθέσει το 1 στα δεξιά του. Ζητούσαμε να προσδιοριστούν τα ΑΒΓΔΕ ώστε: 3 Χ (1ΑΒΓΔΕ) = ΑΒΓΔΕ1. Ξεκινούμε από τον πολλαπλασιασμό και βλέπουμε πως 3 Χ Ε πρέπει να δίνει έναν γινόμενο με το τελευταίο ψηφίο του να είναι το 1 (συν κάποιο κρατούμενο). Προφανώς το 7 ταιριάζει, άρα Ε = 7. Συνεχίζουμε έτσι. 3 Χ Δ + 2 (αφού 3 Χ 7 έδωσε 21) = πρέπει να λήγει σε 7. Aρα Δ = 5 διότι 3 Χ 5 + 2 = 17 . Και έχουμε 1 ως κρατούμενο. Με τον ίδιο τρόπο: 3 Χ Γ + 1 => 5 άρα Γ = 8 και 2 το κρατούμενο (3 Χ 8 = 24 +1 = 25). Επομένως 3 Χ Β + 2 => 8 άρα Β = 2. Και τέλος 3 Χ Α => 2 άρα το Α πρέπει να είναι ίσον με 4. Αν πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τον 142857 επί 3 παίρνουμε τον 428571.
  •  Σε ένα παιχνίδι για δύο υπάρχει μια στοίβα από 100 πίτες. Ο καθένας έχει δικαίωμα να παίρνει από 1 έως 5 κάθε φορά που είναι η σειρά του και ζητούμε αν μας δοθεί η δυνατότητα να διαλέξουμε αν θα αρχίσουμε εμείς το παιχνίδι ή ο αντίπαλος. Τι να διαλέξουμε για να είναι σίγουρο πως θα σηκώσουμε εμείς την τελευταία πίτα κάτω-κάτω; Σε ένα τέτοιο πρόβλημα πηγαίνουμε και αρχίζουμε από το… τέλος. Αν ο αντίπαλος φθάσει στον τελευταίο γύρο, όταν είναι να τραβήξει εκείνος και έχει μπροστά του 6 πίτες η νίκη μας είναι εξασφαλισμένη. Για να συμβεί αυτό πρέπει στην προηγούμενη φορά που ήταν η σειρά του να έχει μείνει με 12. Και πιο πριν με 18. Αρα τελικά όταν είναι να τραβήξει πρώτος πρέπει να έχει μπροστά του 96 (6 Χ 16 = 96). Αρα πρέπει να διαλέξουμε να τραβήξουμε εμείς πρώτα και παίρνοντας τις 4 πρώτες να τον αφήσουμε στις 96. Μετά στις 90, 84, 78…

Γράψτε το σχόλιό σας

Ακολουθήστε το στο Google News και μάθετε πρώτοι όλες τις ειδήσεις
Δείτε όλες τις τελευταίες Ειδήσεις από την Ελλάδα και τον Κόσμο, στο

Latest News

ΕΓΓΡΑΦΕΙΤΕ ΣΤΟ NEWSLETTER ΜΑΣ
Εμβόλιο: Πόσες μέρες μετά έρχεται η ανοσία – Τι απαντούν οι ειδικοί
SARS-CoV-2

Τελικά πόσες μέρες μετά τον εμβολιασμό έρχεται η ανοσία;

Πόσος καιρός χρειάζεται για να υπάρχει κάλυψη, μετά την πρώτη δόση του εμβολίου

Κινέζικος πύραυλος: Η στιγμή της πτώσης
video
Διάστημα

Η στιγμή της πτώσης του πυραύλου - Το χρονικό μέχρι το αίσιο τέλος

Η παγκόσμια προσοχή στράφηκε στον κινέζικο πύραυλο που θα έπεφτε στη γη. Τελικά ο συναγερμός έληξε και κάποια από τα απομεινάρια του έπεσαν στον Ινδικό Ωκεανό.

«Δεν μπορώ να ανασάνω!»: Εικόνες αποκάλυψης στην Ινδία
MUST READ

«Δεν μπορώ να ανασάνω!»: Εικόνες αποκάλυψης στην Ινδία

Χατσούνε Μίκου: μία διεθνούς φήμης σταρ, που… δεν γεννήθηκε πότε
Video
Τεχνολογία

Χατσούνε Μίκου: μία διεθνούς φήμης σταρ, που… δεν γεννήθηκε πότε

Αν και ανήλικη, έχει εκατομμύρια ακολούθους στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης, θαυμαστές σε ολόκληρο τον κόσμο και χιλιάδες μουσικές επιτυχίες στο ενεργητικό της. Είναι μία διεθνών διαστάσεων ντίβα από τη Ιαπωνία. Κι ας είναι μόνο ένα ολόγραμμα

«Η UEFA σκέφτεται σοβαρά το Γουέμπλεϊ για τον τελικό»
MUST READ

«Η UEFA σκέφτεται σοβαρά το Γουέμπλεϊ για τον τελικό»

Συναγερμός ΠΟΥ: Η ινδική παραλλαγή είναι πιο μεταδοτική και ανθεκτική στα εμβόλια
SARS-CoV-2

Συναγερμός ΠΟΥ: Η ινδική παραλλαγή είναι πιο μεταδοτική και ανθεκτική στα εμβόλια

Οι μολύνσεις μπορεί να εξαπλώνονται αθόρυβα για μήνες στην Ινδία

Το ράλι του Dogecoin κατά 12.000% πυροδοτεί το κυνήγι για τον επόμενο μεγάλο κερδισμένο στην αγορά κρυπτονομισμάτων
MUST READ

Το ράλι του Dogecoin κατά 12.000% πυροδοτεί το κυνήγι για τον επόμενο μεγάλο κερδισμένο στην αγορά κρυπτονομισμάτων

Κινέζικος πύραυλος: Τέλος συναγερμού – Κομμάτια του έπεσαν στον Ινδικό Ωκεανό
Διάστημα

Έπεσε ο κινέζικος πύραυλος - Συντρίμμια του στον Ινδικό Ωκεανό

Το μεγαλύτερο μέρος του πυραύλου καταστράφηκε κατά την επανείσοδό του στην ατμόσφαιρα.

Επενδυτικό τσουνάμι : 60 όμιλοι στη γραμμή επανεκκίνησης – Ποια σχέδια έχουν στα σκαριά
MUST READ

Επενδυτικό τσουνάμι : 60 όμιλοι στη γραμμή επανεκκίνησης – Ποια σχέδια έχουν στα σκαριά

Νέος μπαμπάς: Πώς πρέπει να κρατάτε το μωρό
MUST READ

Νέος μπαμπάς: Πώς πρέπει να κρατάτε το μωρό

Σε επιφυλακή η Ελλάδα για τον κινεζικό πύραυλο που πέφτει ανεξέλεγκτα στη Γη – Το κρίσιμο διάστημα
Live
Διάστημα

Σε επιφυλακή η Ελλάδα για τον κινεζικό πύραυλο που πέφτει ανεξέλεγκτα στη Γη - Το κρίσιμο διάστημα [Live η πορεία του]

Η κινεζική υπηρεσία διαστήματος δεν ακολούθησε την συνήθη σε αυτές τις περιπτώσεις διαδικασία και δεν προγραμμάτισε τον πύραυλο έτσι ώστε να επιστρέψει και να πέσει σε κάποιο από τα συγκεκριμένα σημεία που έχουν επιλεχθεί στον πλανήτη για αυτές τις περιπτώσεις

Ποια γνωστά ξενοδοχεία βγαίνουν σε πλειστηριασμό τους επόμενους μήνες
MUST READ

Ποια γνωστά ξενοδοχεία βγαίνουν σε πλειστηριασμό τους επόμενους μήνες

Σχόλια
Πρόσφατα Άρθρα B Science
Εμβόλιο: Πόσες μέρες μετά έρχεται η ανοσία – Τι απαντούν οι ειδικοί
SARS-CoV-2

Τελικά πόσες μέρες μετά τον εμβολιασμό έρχεται η ανοσία;

Πόσος καιρός χρειάζεται για να υπάρχει κάλυψη, μετά την πρώτη δόση του εμβολίου

Κινέζικος πύραυλος: Η στιγμή της πτώσης
video
Διάστημα

Η στιγμή της πτώσης του πυραύλου - Το χρονικό μέχρι το αίσιο τέλος

Η παγκόσμια προσοχή στράφηκε στον κινέζικο πύραυλο που θα έπεφτε στη γη. Τελικά ο συναγερμός έληξε και κάποια από τα απομεινάρια του έπεσαν στον Ινδικό Ωκεανό.

Κινέζικος πύραυλος: Έκανε κύκλους και πάνω από την Ελλάδα – Πέρασε από Κέρκυρα και Κρήτη
Video
Διάστημα

Αποκάλυψη: O Κινέζικος πύραυλος έκανε κύκλους πάνω από την Ελλάδα – Ποιο ελληνικό νησί «είχε βάλει το μάτι»

Όπως αποκάλυψε ο Ξενοφών Μούσας, καθηγητής Φυσικής του Διαστήματος, παρ΄ότι κομμάτια του πυραύλου έπεσαν δυτικά του αρχιπελάγους των Μαλδιβών, ο πύραυλος βρέθηκε πάνω και από την χώρα μας.

Χατσούνε Μίκου: μία διεθνούς φήμης σταρ, που… δεν γεννήθηκε πότε
Video
Τεχνολογία

Χατσούνε Μίκου: μία διεθνούς φήμης σταρ, που… δεν γεννήθηκε πότε

Αν και ανήλικη, έχει εκατομμύρια ακολούθους στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης, θαυμαστές σε ολόκληρο τον κόσμο και χιλιάδες μουσικές επιτυχίες στο ενεργητικό της. Είναι μία διεθνών διαστάσεων ντίβα από τη Ιαπωνία. Κι ας είναι μόνο ένα ολόγραμμα

Έρευνα: Πώς η παχυσαρκία μπορεί να επηρεάσει την αποτελεσματικότητα των εμβολίων
SARS-CoV-2

Έρευνα ταράζει τα νερά: Η παχυσαρκία μπορεί να επηρεάσει την αποτελεσματικότητα των εμβολίων

Κάποιοι επιστήμονες έχουν διατυπώσει από νωρίς την ανησυχία για το αν η παχυσαρκία επηρεάζει και την αποτελεσματικότητα των εμβολίων.

Συναγερμός ΠΟΥ: Η ινδική παραλλαγή είναι πιο μεταδοτική και ανθεκτική στα εμβόλια
SARS-CoV-2

Συναγερμός ΠΟΥ: Η ινδική παραλλαγή είναι πιο μεταδοτική και ανθεκτική στα εμβόλια

Οι μολύνσεις μπορεί να εξαπλώνονται αθόρυβα για μήνες στην Ινδία

Κοροναϊός: Η καρδιακή ανεπάρκεια ως επιπλοκή της λοίμωξης – Τι πρέπει να γνωρίζουμε
Ειδήσεις

Ποια η σχέση καρδιακής ανεπάρκειας και κοροναϊού - Όλα όσα πρέπει να γνωρίζουμε

Καταδεικνύεται η επιτακτική ανάγκη πρόληψης της νόσου ειδικά σε ασθενείς με καρδιαγγειακούς παράγοντες κινδύνου, η οποία έχει ως κύριους άξονες τη λήψη ατομικών μέτρων προστασίας και τον εμβολιασμό.

Κινέζικος πύραυλος: Τέλος συναγερμού – Κομμάτια του έπεσαν στον Ινδικό Ωκεανό
Διάστημα

Έπεσε ο κινέζικος πύραυλος - Συντρίμμια του στον Ινδικό Ωκεανό

Το μεγαλύτερο μέρος του πυραύλου καταστράφηκε κατά την επανείσοδό του στην ατμόσφαιρα.

Ελπίδες για διάθεση από φέτος του φαρμάκου κατά του Covid-19
SARS-CoV-2

Ερχεται μέσα στη χρονιά το εισπνεόμενο φάρμακο για τον κοροναϊό - Θα είναι η σωτηρία μας;

«Θα μπορεί να παραχθεί ταχύτατα, μαζικά και με χαμηλό κόστος», τονίζει στα «ΝΕΑ» ο ισραηλινός καθηγητής ο οποίος μιλάει για την έναρξη της κλινικής μελέτης φάσης ΙΙ στην Ελλάδα

Σε ετοιμότητα όλοι οι αρμόδιοι φορείς για τον κινεζικό πύραυλο, με εντολή Χαρδαλιά
Ελλάδα

Σε ετοιμότητα όλοι οι αρμόδιοι φορείς για τον κινεζικό πύραυλο, με εντολή Χαρδαλιά

Σε επιφυλακή τίθενται, με εντολή του υφυπουργού Πολιτικής Προστασίας και Διαχείρισης Κρίσεων, Νίκου Χαρδαλιά, όλοι οι φορείς Πολιτικής Προστασίας, εν αναμονή του κινεζικού πυραύλου που πέφτει ανεξέλεγκτα στη Γη

ΔΕΙΤΕ ΕΠΙΣΗΣ
Ανοικτά καταστήματα και κομμωτήρια – Το ωράριο λειτουργίας
Ελλάδα

Ανοικτά καταστήματα και κομμωτήρια – Το ωράριο λειτουργίας

Ερντογάν: Η ΕΕ δεν μπορεί να υπάρχει χωρίς την υποστήριξη της Τουρκίας
Πολιτική

Ερντογάν: Η ΕΕ δεν μπορεί να υπάρχει χωρίς την υποστήριξη της Τουρκίας

Ερντογάν: Η ΕΕ δεν μπορεί να υπάρχει χωρίς την υποστήριξη της Τουρκίας
Πολιτική

Ερντογάν: Η ΕΕ δεν μπορεί να υπάρχει χωρίς την υποστήριξη της Τουρκίας

Μειώσεις ενοικίων: Τα αιτήματα της ΠΟΜΙΔΑ για τις αποζημιώσεις ιδιοκτητών
Οικονομικές Ειδήσεις

Μειώσεις ενοικίων: Τα αιτήματα της ΠΟΜΙΔΑ για τις αποζημιώσεις ιδιοκτητών

O Γκαγκαλούδης χάρισε βολές σε 27 χρόνια νεότερο (vid)
Σπορ

O Γκαγκαλούδης χάρισε βολές σε 27 χρόνια νεότερο (vid)

Μην ξεχνάμε τις «άλλες» μάνες – Αυτές που αξίζουν περισσότερα μπράβο
Άποψη

Μην ξεχνάμε τις «άλλες» μάνες – Αυτές που αξίζουν περισσότερα μπράβο

Γιορτή της μητέρας: Η μάνα μέσα από τα μάτια των πιο κορυφαίων ζωγράφων
Τέχνη

Γιορτή της μητέρας: Η μάνα μέσα από τα μάτια των πιο κορυφαίων ζωγράφων

Eurovision 2021: Δείτε την πρώτη πρόβα της Έλενας Τσαγκρινού στην σκηνή
Fizz

Eurovision 2021: Δείτε την πρώτη πρόβα της Έλενας Τσαγκρινού στην σκηνή

Renault Megane E-Tech: Το σχήμα του νερού…
Αυτοκίνητο

Renault Megane E-Tech: Το σχήμα του νερού…

Διατροφή: Τι να «κόψετε» για να μη σας προδώσει η καρδιά σας στα 50
Διατροφή

Διατροφή: Τι να «κόψετε» για να μη σας προδώσει η καρδιά σας στα 50

Eurovision 2021: Δείτε την πρώτη πρόβα της Έλενας Τσαγκρινού στην σκηνή
Fizz

Eurovision 2021: Δείτε την πρώτη πρόβα της Έλενας Τσαγκρινού στην σκηνή

ΣΥΡΙΖΑ – ΝΔ: Πολιτική κόντρα με φόντο τη διαχείριση της πανδημίας και τα εργασιακά
Εκπομπές

ΣΥΡΙΖΑ – ΝΔ: Πολιτική κόντρα με φόντο τη διαχείριση της πανδημίας και τα εργασιακά

Ο Γκόρντον Ράμσεϊ στη Μύκονο – Αποκλειστικό
Stories

Ο Γκόρντον Ράμσεϊ στη Μύκονο – Αποκλειστικό

«Brain Drain στην Ελλάδα»: Μπορεί να αποδειχθεί γόνιμη ως συνθήκη για τον τόπο μας;
Stories

«Brain Drain στην Ελλάδα»: Μπορεί να αποδειχθεί γόνιμη ως συνθήκη για τον τόπο μας;

Γιώργος Πλειώνης: Ο θρυλικός πιλότος που καταδίωξε το Ρόμελ, πολέμησε στην Κορέα και απέρριψε τη Χούντα
Πρόσωπα & Ιστορίες

Γιώργος Πλειώνης: Ο θρυλικός πιλότος που καταδίωξε το Ρόμελ, πολέμησε στην Κορέα και απέρριψε τη Χούντα

Δε φαντάζεστε πόσο πωλούνται κέρματα των 100 δραχμών με το αστέρι της Βεργίνας
Viral

Δε φαντάζεστε πόσο πωλούνται κέρματα των 100 δραχμών με το αστέρι της Βεργίνας

Νίσυρος: Το ηφαίστειο, ο Πολυβώτης και ο Στέφανος
Ιδέες για ταξίδια

Νίσυρος: Το ηφαίστειο, ο Πολυβώτης και ο Στέφανος

Διαβάστε στο «Βήμα της Κυριακής»: Το νέο ελληνικό στοίχημα
Media

Διαβάστε στο «Βήμα της Κυριακής»: Το νέο ελληνικό στοίχημα

Ψηφιακή Μέριμνα: 7+1 ερωταπαντήσεις για να είμαστε σίγουροι ότι κερδίζουμε περισσότερα
Τα Νέα της Αγοράς

Ψηφιακή Μέριμνα: 7+1 ερωταπαντήσεις για να είμαστε σίγουροι ότι κερδίζουμε περισσότερα