Οσερ Ντέιβιντ Σπίγκελχαλτερ, 67 ετών σήμερα, είναι ένας βρετανός στατιστικολόγος, πρόεδρος στο αντίστοιχο εργαστήριο του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ. Στο βιβλίο του «Η Τέχνη της Στατιστικής» αναφέρει ότι το 2012, σε 97 μέλη του Κοινοβουλίου στο Λονδίνο υποβλήθηκε η εξής ερώτηση: «Αν στρίψετε ένα νόμισμα δύο φορές στη σειρά ποια είναι η πιθανότητα να έλθει δύο φορές κορόνα;». Και το αποτέλεσμα ήταν οι 60 στους 97 να δώσουν λάθος απάντηση (ακούω μια φωνή να λέει: μη δίνεις ιδέες και για κάποιους άλλους σε άλλη χώρα;..).

Θα παρακαλέσω, έστω και αν το βρήκατε αμέσως, να προσέξετε πολύ τη συνέχεια: Ρίχνοντας το πρώτο νόμισμα έχουμε ½ πιθανότητα να βγει Κ-ορόνα και ½ πιθανότητα να βγει Γ-ράμματα. Στην επόμενη φορά έχουμε πάλι για την κάθε προηγούμενη έκβαση Κ ή Γ, πιθανότητα ½ για να προκύψει τώρα Κ ή Γ, συνολικά λοιπόν τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις, με πιθανότητα (1/2) Χ (1/2) = ¼. Με βάση αυτό το παράδειγμα συνοψίζουμε:

α) Η πιθανότητα για ένα συμβάν είναι αριθμός μεταξύ 0 και 1, για τα απίθανα συμβάντα είναι 0 (π.χ. να μην έλθει ούτε Κ ούτε Γ) και 1 για τα εντελώς σίγουρα.

β) Για να βρίσκουμε την πιθανότητα να μη συμβεί κάτι αφαιρούμε την πιθανότητα του να συμβεί από το 1 (π.χ. το να έλθει τουλάχιστον μία φορά Γ είναι ίσο με 1 – (1/4) = ¾,  δηλαδή 1 πλην την πιθανότητα να έλθει δύο φορές Κ).

γ) Οταν ζητούμε τη συνολική πιθανότητα για κάποια συμβάντα που μόνον το ένα από αυτά μπορεί να συμβεί κάθε φορά κάνουμε πρόσθεση των επί μέρους πιθανοτήτων. Για να έχουμε δηλαδή την πιθανότητα να εμφανιστεί τουλάχιστον μία φορά Κ-ορόνα θα αθροίσουμε τις πιθανότητες από τα συμβάντα: (Κ-Κ), (Κ-Γ), (Γ-Κ), δηλαδή 1/4 + 1/4 + 1/4 = ¾.

δ) Για ανεξάρτητα μεταξύ τους γεγονότα όπως το να βγει Κ και μετά πάλι Κ κάνουμε πολλαπλασιασμό: ½ Χ ½ = ¼.

Πρόβλημα με σημασία

Εστω ότι οι μαστογραφίες έχουν ακρίβεια 90% και ότι το 1% των γυναικών που έκαναν μαστογραφία πραγματικά είχε καρκίνο. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη γυναίκα να έχει θετική ένδειξη στη μαστογραφία της και ποια η πιθανότητα να έχει πραγματικά καρκίνο;

Λύση: Παίρνουμε έναν μεγάλο αριθμό γυναικών, ας είναι 1.000. Από αυτές σύμφωνα με το πρόβλημα 1%, δηλαδή οι 10, έχουν καρκίνο. Από αυτές, με τη μέθοδο να έχει ακρίβεια 90%, οι 9 θα έχουν και μαστογραφία θετική. Αφού 10 έχουν καρκίνο, οι 990 δεν έχουν. Από αυτές εφόσον η ακρίβεια είναι 90%, το υπόλοιπο 10% δίνει ότι 99 κατά λάθος πήραν μαστογραφία με θετική ένδειξη. Αρα μαστογραφία με θετική ένδειξη πήραν οι 9 + 99 = 108. Αρα η πιθανότητα για να πάρει μια γυναίκα θετική μαστογραφία (ανεξάρτητα αν πάσχει πραγματικά ή έχει γίνει λάθος) είναι 108/1000 = 0,108, δηλαδή 10,8%. Αλλά από τις 108 μόνον οι 9 πάσχουν σίγουρα, άρα η πιθανότητα μια να έχει προσβληθεί είναι 9/108 που δίνει 8%. Συμπέρασμα: Αν και έχουμε 90% ακρίβεια στις μαστογραφίες, στη μεγάλη τους πλειονότητα γυναίκες με θετική μαστογραφία δεν έχουν καρκίνο! Οπως γράφει και ο κ. Σπίγκελχαλτερ, «αν είσαι ο Πάπας είσαι και καθολικός, αλλά αν είσαι καθολικός δεν είσαι απαραίτητα και Πάπας».

Πνευματική Γυμναστική

Το 2020 ήταν δίσεκτο (από κάθε άποψη). Ζητούμε να υπολογιστεί η πιθανότητα να γεννηθεί κάποιος στις 29 Φεβρουαρίου. Αν κάποιος αισθάνεται, για περισσότερη γυμναστική και την ανάγκη στη συνέχεια να λάβει υπόψη του τη διόρθωση με τους αιώνες, από το 1601 και πέρα, παραθέτουμε το τι ισχύει σύμφωνα με τη Wikipedia:

Για να προσδιορίσουμε αν ένα έτος είναι δίσεκτο εφαρμόζουμε τα εξής:

• Ελέγχουμε το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του έτους με το 4. Αν είναι μηδέν ελέγχουμε το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του έτους με το 100. Αν αυτό το υπόλοιπο είναι διαφορετικό του μηδενός τότε το έτος είναι δίσεκτο.
• Αν από τον έλεγχο 1 δεν προκύψει ότι το έτος είναι δίσεκτο ελέγχουμε το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του έτους με το 400. Αν είναι μηδέν τότε το έτος είναι δίσεκτο, άσχετα από το αποτέλεσμα του ελέγχου 1. Αρα το 2000 ήταν δίσεκτο, όμως το 2100 δεν θα είναι.

Οι λύσεις των προηγουμένων κουίζ

1. Για να βεβαιωθούμε ότι έγινε κτήμα μας η όλη συλλογιστική από το Τζόκερ και τα σχετικά με αυτό, ζητούσαμε την πιθανότητα να επιτύχουμε στην πρόβλεψη 4+1, δηλαδή έστω των τεσσάρων από τους πέντε αριθμούς και εκείνου στην κατηγορία τζόκερ, δηλαδή από την κατηγορία των 20 αριθμών. Η μία περίπτωση είναι ο πρώτος αριθμός που θα κληρωθεί να είναι μέσα σε αυτούς τους πέντε που ποντάραμε και εμείς. Η πιθανότητα είναι 5/45. Αν όμως δεν ήταν μέσα στους πέντε «δικούς» μας τότε αντίθετα η πιθανότητα είναι 40/45 (αφού το άθροισμά τους πρέπει να είναι 1 ή 45/45). Εχουν μείνει 44 αριθμοί. Το να είναι ο επόμενος μέσα στους «δικούς» μας έχει πιθανότητα 4/44 και το να μην είναι έχει πιθανότητα 40/44. Αν όμως ο πρώτος δεν ήταν μέσα στους δικούς μας πρέπει πλέον να είναι ο δεύτερος που θα κληρωθεί ΚΑΙ (=AND) όλοι οι επόμενοι στους δικούς μας πέντε, άρα οι πιθανότητες θα πολλαπλασιάζονται και θα είναι με τη σειρά: (40/45) Χ (5/44) Χ (4/43) Χ (3/42) Χ (2/41 = (4800/146 611 080). Αν εξετάσουμε και τις άλλες πιθανές διαδρομές όπου με κάποια άλλη σειρά θα εμφανιστεί ο αριθμός που δεν ανήκει στους πέντε «δικούς» μας το αποτέλεσμα βγαίνει ίδιο με το προηγούμενο. Εχουμε λοιπόν συνολικά πέντε τέτοιες περιπτώσεις και επειδή πρόκειται για αποτελέσματα που θα έλθει Ή (=OR) το ένα ή το άλλο κ.λπ. θα πρέπει όπως έχουμε δείξει σε προηγούμενη συνέχεια να προστεθούν αυτές οι 5 πιθανότητες, άρα θα έχουμε 5 Χ (4800/146 611 080) = (24 000/ 146 611 080). Πρέπει όμως να πετύχουμε και τον έναν από τους 20 αριθμούς του τζόκερ, άρα έχουμε από εκεί 1/20 πιθανότητα που πρέπει ΚΑΙ (=AND) αυτή να πολλαπλασιαστεί με το προηγούμενο κλάσμα, άρα η πιθανότητα για 4+1 επιτυχίες είναι: (1/20) Χ (24 000/ 146 611 080) = 0,0000081849.
2. Σε ένα παιχνίδι ρωσικής ρουλέτας για δύο, με σφαίρα στη μία θαλάμη του όπλου από τις έξι, ζητούσαμε να υπολογιστούν οι πιθανότητες… «επιτυχίας». Δηλαδή πατώντας τη σκανδάλη να φάει τη σφαίρα αυτός που κρατούσε εκείνη τη στιγμή το όπλο. Οι πιθανότητες είναι ακριβώς οι ίδιες και για τους δύο; Αν όχι, γιατί; Ας υποθέσουμε πως ο Α έχει πιθανότητα Ρ1 και ο Β Ρ2, και συνολικά Ρ1 + Ρ2 = 1. Αν ο Α βρει τη σφαίρα στη θαλάμη ο Β δεν έχει καν δυνατότητα συμμετοχής πλέον. Το να μην είναι η σφαίρα μέσα, την πρώτη φορά που ο Α θα τραβήξει τη σκανδάλη, αυτό έχει πιθανότητα (5/6). Τότε έρχεται η σειρά του Β, οπότε για αυτόν θα ισχύουν δύο διαδοχικά γεγονότα, απαραίτητα και τα δύο. Θα είναι (5/6) που δεν βρήκε ο Α τη σφαίρα και Ρ1 η πιθανότητα που είχε ο Α και τώρα είναι του Β, άρα συνολικά Ρ2 = (5/6) Χ Ρ1. Ομως Ρ2 = 1 – Ρ1 και από τα δύο αυτά μαζί παίρνουμε τελικά Ρ1 = (6/11) = 0,545 ή 54,5%. Οπότε ο πρώτος έχει τότε λίγο μεγαλύτερη πιθανότητα να συναντήσει τη μοιραία σφαίρα.